Повреждение - событие, заключающееся в нарушении исправности

объекта при сохранении его работоспособности.

Отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособности

Критерий отказа - отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт отказа.

Признаки (критерии) отказов устанавливаются НТД на данный объект.

Восстановление - процесс обнаружения и устранения отказа (повреждения) с целью восстановления его работоспособности (исправности).

Восстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого

в случае возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемых условиях.

Невосстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению в рассматриваемых условиях.

При анализе надежности, особенно при выборе показателей надежности объекта, существенное значение имеет решение, которое должно быть принято в случае отказа объекта. Если в рассматриваемой ситуации восстановление работоспособности данного объекта при его отказе по каким-либо причинам признается нецелесообразным или неосуществимым (например, из-за невозможности прерывания выполняемой функции), то такой объект в данной ситуации является невосстанавливаемым. Таким образом, один и тот же объект в зависимости от особенностей или этапов эксплуатации может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым. Например, аппаратура метеоспутника на этапе хранения относится к восстанавливаемой, а во время полета в космосе - невосстанавливаемой. Более того, даже один и тот же объект можно отнести к тому или иному типу в зависимости от назначения: ЭВМ, используемая для неоперативных вычислений, является объектом восстанавливаемым, так как в случае отказа любая операция может быть повторена, а та же ЭВМ, управляющая сложным технологическим процессом в химии, является объектом невосстанавливаемым, так как отказ или сбой приводит к непоправимым последствиям.

Авария* - событие, заключающееся в переходе объекта с одного уровня работоспособности или относительного уровня функционирования на другой, существенно более низкий, с крупным нарушением режима работы

объекта. Авария может привести к частичному или полному разрушению

объекта, созданию опасных условий для человека и окружающей среды.

Временные характеристики объекта

Наработка - продолжительность или объем работы объекта. Объект

может работать непрерывно или с перерывами. Во втором случае учитывается суммарная наработка. Наработка может измеряться в единицах времени, циклах, единицах выработки и других единицах. В процессе эксплуатации различают суточную, месячную наработку, наработку до первого отказа, наработку между отказами, заданную наработку и т. д.

Если объект эксплуатируется в различных режимах нагрузки, то, например, наработка в облегченном режиме может быть выделена и учитываться отдельно от наработки при номинальной нагрузке.

Технический ресурс - наработка объекта от начала его эксплуатации

до достижения предельного состояния.

Обычно указывается, какой именно технический ресурс имеется в виду: до среднего, капитального, от капитального до ближайшего среднего и т. п.

Если конкретного указания не содержится, то имеется в виду ресурс от начала эксплуатации до достижения предельного состояния после всех (средних и капитальных) ремонтов, т.е. до списания по техническому состоянию.

Срок службы - календарная продолжительность эксплуатации объекта от ее начала или возобновления после капитального или среднего ремонта до наступления предельного состояния.

Под эксплуатацией объекта понимается стадия его существования в распоряжении потребителя при условии применения объекта по назначению,

что может чередоваться с хранением, транспортированием, техническим

обслуживанием и ремонтом, если это осуществляется потребителем.

Срок сохраняемости - календарная продолжительность хранения

и (или) транспортирования объекта в заданных условиях, в течение и после которой сохраняются значения установленных показателей (в том числе

и показателей надежности) в заданных пределах.

Определение надежности

Работа любой технической системы может характеризоваться ее эффективностью (рис. 4.1.1), под которой понимается совокупность свойств,

определяющих способность системы успешно выполнять определенные задачи.

В соответствии с ГОСТ 27.002-89 под надежностью понимают свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Таким образом:

1. Надежность - свойство объекта сохранять во времени способность выполнять требуемые функции. Например: для электродвигателя - обеспечивать требуемые момент на валу и скорость; для системы электроснабжения - обеспечивать электроприемники энергией требуемого качества.

2. Выполнение требуемых функций должно происходить при значениях параметров в установленных пределах. Например: для электродвигателя - обеспечивать требуемые момент и скорость при температуре двигателя, не превышающей определенного предела, отсутствии выделения источника взрыва, пожара и т.д.

3. Способность выполнять требуемые функции должна сохраняться в заданных режимах (например, в повторно-кратковременном режиме работы);

в заданных условиях (например, в условиях запыленности, вибрации и т. д.).

4. Объект должен обладать свойством сохранять способность выполнять требуемые функции в различные фазы: при рабочей эксплуатации, техническом обслуживании, ремонте, хранении и транспортировке.

Надежность - важный показатель качества объекта. Его нельзя ни противопоставлять, ни смешивать с другими показателями качества. Явно

недостаточной, например, будет информация о качестве очистительной

установки, если известно только то, что она обладает определенной производительностью и некоторым коэффициентом очистки, но неизвестно, насколько устойчиво сохраняются эти характеристики при ее работе. Бесполезна также информация о том, что установка устойчиво сохраняет

присущие ей характеристики, но неизвестны значения этих характеристик.

Вот почему в определение понятия надежности входит выполнение заданных функций и сохранение этого свойства при использовании объекта

по назначению.

В зависимости от назначения объекта оно (понятие) может включать

в себя в различных сочетаниях безотказность, долговечность, ремонтопригодность, сохраняемость. Например, для невосстанавливаемого объекта, не предназначенного для хранения, надежность определяется его безотказностью при использовании по назначению. Информация о безотказности восстанавливаемого изделия, длительное время находящегося в состоянии хранения и транспортировки, не в полной мере определяет его надежность (при этом необходимо знать и о ремонтопригодности, и сохраняемости).

В ряде случаев очень важное значение приобретает свойство изделия сохранять работоспособность до наступления предельного состояния (снятие

с эксплуатации, передача в средний или капитальный ремонт), т. е. необхдима информация не только о безотказности объекта, но и о его долговечности.

Техническая характеристика, количественным образом определяющая

одно или несколько свойств, составляющих надежность объекта, именуется

показатель надежности. Он количественно характеризует, в какой степени

данному объекту или данной группе объектов присущи определенные свойства, обусловливающие надежность. Показатель надежности может иметь размерность (например, среднее время восстановления) или не иметь ее (например, вероятность безотказной работы).

Надежность в общем случае - комплексное свойство, включающее такие понятия, как безотказность, долговечность, ремонтопригодность, сохраняемость. Для конкретных объектов и условий их эксплуатации эти свойства могут иметь различную относительную значимость.

Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.

Ремонтопригодность - свойство объекта быть приспособленным к предупреждению и обнаружению отказов и повреждений, к восстановлению

работоспособности и исправности в процессе технического обслуживания

и ремонта.

Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния с необходимым прерыванием для технического обслуживания и ремонтов.

Сохраняемость - свойство объекта непрерывно сохранять исправное

и работоспособное состояние в течение (и после) хранения и (или) транспортировки.

Для показателей надежности используются две формы представления:

вероятностная и статистическая. Вероятностная форма обычно бывает

удобнее при априорных аналитических расчетах надежности, статистическая - при экспериментальном исследовании надежности технических систем. Кроме того, оказывается, что одни показатели лучше интерпретируются в вероятностных терминах, а другие - в статистических.

Вероятность безотказной работы объекта - вероятность того, что в определенных условиях эксплуатации в пределах заданной продолжительности работы отказ не возникает. Пусть t - время, в течение которого необходимо определить вероятность безотказной работы, а Т1 - время работы аппаратуры от ее включения до первого отказа. Тогда согласно определению:

т.е. вероятность безотказной работы - это вероятность того, что случайная величина T1 (время от момента включения до ее отказа) будет больше или равно времени t, в течение которого определяется вероятность безотказной работы. Функция P(t) является монотонно убывающей функцией времени и при t=0 P(t)=1 (в момент включения объект всегда работоспособен), тогда как P(?)=0 (объект не может сохранять свою работоспособность неограниченно долго).

На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность неисправной работы, или вероятность отказов. Исправная работа и отказ являются события несовместимыми и противоположными. Поэтому вероятность отказа и вероятность безотказной работы связаны зависимостью:

P(t)= 1- Q(t) или Q(t) =P (T 1? t), Таким образом, вероятность отказа является функцией распределения случайной величины T1 - времени работы до отказа, т.е. Q(t)=F(t). Производная от интегральной функции есть дифференциальный закон (плотность) распределения: f(t) =dF(t)/dt.

В качестве показателя надежности неудобно использовать функциональную зависимость, поэтому в технических условиях оговариваются значения функции P(t) при значения t выбираемых из нормированного ряда t=100;500;1000;2000;5000;10000 ч.

По статистическому эксперименту можно определить приближенно, в виде статистической оценки:

где N(t) - кол-во безотказно работающих до момента времени t объектов, при их исходном количестве N0.

Вероятность безотказной работы P(t), как количественная характеристика надежности, обладает следующими достоинствами:

• 1) характеризует изменение надежности во времени;
• 2) она входит во многие другие характеристики аппаратуры (например, стоимость изготовления);
• 3) охватывает большинство факторов, влияющих на надежность, и поэтому достаточно полно характеризует надежность;
• 4) может быть получена расчетным путем до изготовления системы;
• 5) является характеристикой как простейших элементов, так и сложных систем.

Это явилось причиной наибольшего распространения этой характеристики, однако она имеет существенные недостатки:

• 1) характеризует надежность восстанавливаемых систем только до первого отказа;
• 2) не дает возможности установить будет ли готова система к действию в данный момент;

Эти недостатки позволяют сделать вывод, что вероятность безотказной работы, как, впрочем, и любая другая характеристики, не полностью характеризуют такое свойство как надежность, и поэтому не может быть с ним отождествлена.

Частота отказов - это отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу образов, первоначально установленных на испытание при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными. Согласно определению:

n(t) - число отказавших образцов в интервале времени от t-Dt/2 до t+Dt/2,

N0 - число образцов аппаратуры, первоначально установленных на испытание.

Перейдем от статистического описания частоты отказов к ее вероятностному определению, число отказавших образцов

n(t)= -(N(t+Dt)-N(t)).

При достаточно большом количестве образцов справедливо

подставляя в:

Переходя к пределу, при Dt®0 получаем f(t)= -P"(t).

Так как число отказавших образцов в интервале времени Dt может зависеть от расположения этого промежутка по оси времени, то частота отказов является функцией времени и при Dt®0 частота отказов есть плотность распределения времени работы объекта до его отказа: f(t)=Q"(t).

Частота отказов, являясь плотностью распределения, наиболее полно характеризует такое случайное явление, как время возникновения отказов. Вероятность безотказной работы, математическое ожидание и дисперсия являются лишь удобными характеристиками распределения и всегда могут быть получены, если известна частота отказов f(t).

Эта характеристика имеет существенный недостаток, состоящий в том, что частоту отказов можно использовать для оценки надежности только той аппаратуры, которая после отказа не ремонтируется и в дальнейшем не эксплуатируется (т.е. невосстанавливаемой).

Для того чтобы оценить с помощью частоты отказов надежность аппаратуры длительного пользования, которая может ремонтироваться (восстанавливаемых объектов) необходимо иметь семейство кривых f(t), полученных до первого отказа, между первым и вторым, вторым и третьи отказами т.д.

Однако следует заметить, что при отсутствии старения указанные характеристики будут совпадать. Частота отказов для восстанавливаемых объектов называется средней частотой отказов или параметром потока отказов и обозначается w(t).

Средней частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу испытываемых образцов при условии, что все образцы, вышедшие из строя, заменяются исправными (новыми или восстановленными):

w(t)=n(t)/(N0*Dt).

И соответственно при Dt®0 параметр потока отказов w(t) - это плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта, определенная для рассматриваемого момента времени. Средняя частота отказов может быть выражена через вероятность безотказной работы:

Эта формула позволяет найти среднюю частоту отказов аппаратуры, если известна ее частота, либо вероятность безотказной работы. Однако на практике найти аналитическое решение это интегрального выражения не всегда удается и приходится применять методы численного интегрирования.

Средняя частота отказов обладает следующими важными свойствами:

• 1) w(t)? f(t);
• 2) независимо от вида f(t) при t®? параметр потока отказов стремится к некоторой постоянной величине.

Главное достоинство средней частоты отказов как количественной характеристики надежности состоит в том, что она позволяет довольно полно оценить свойства аппаратуры, работающей в режиме смены элементов, а также надежности при хранении. Она также позволяет определить число отказавших в аппаратуре элементов данного типа.

Интенсивность отказов - отношение числа отказавших образцов аппаратуры в единицу времени к среднему числу образцов.исправно работающих в данный отрезок времени при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными:

Это выражение является статистическим определением интенсивности, от которого также можно прейти к вероятностному:

учитывая, что Nср=N0-n(t), найдем

устремляя Dt®0 и переходя к пределу, получим

для определения учтено

(f(t)=Q"(t)=-P"(t))

Интенсивность отказов - условная плотность вероятности возникновения отказа при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник:

устанавливает зависимость между частотой и интенсивность отказов.

Интенсивность отказов, как количественная характеристика надежности, обладает рядом достоинств. Она является функцией времени и позволяет наглядно установить характерные участки работы аппаратуры. Типичная кривая изменения интенсивности отказов по времени эксплуатации приведена на рис.1. Работа элементов и систем характеризуется тремя этапами. Первый этап, характеризуется пиковым увеличением интенсивности отказов - это отказы из-за ошибок проектирования и производственных дефектов. Эти отказы обычно выявляются на заводских испытаниях изделия до ввода в эксплуатацию. К этой группе отказов можно отнести и эксплуатационные отказы, вызванные слабым знанием правил эксплуатации. Этот участок называется период доводки или приработки объекта. Второй этап - период нормальной эксплуатации - характеризуется пониженным уровнем и примерно постоянной интенсивностью отказов и его протяженность во времени гораздо больше других участков. На третьем этапе частота отказов вновь возрастает за счет наступления старения и износа элементов объекта. Этот период называется периодом старения.

Интенсивность отказов как количественная характеристика надежности имеет тот же недостаток, что и частота отказов: она позволяет охарактеризовать надежность аппаратуры лишь до первого отказа. Она используется, как справочная характеристика надежности простейших элементов (микросхем, разъемов и т.п.) По известной характеристике l(t) наиболее просто определяются остальные количественные показатели надежности.

Средним временем безотказной работы называется математическое ожидание времени безотказной работы.

Для определения среднего времени безотказной работы из статистических данных используется:

ti - время безотказной работы i-го образца,

N0 - число образцов, над которыми проводится испытание.

Основным достоинством среднего времени безотказной работы является его простота вычисления из экспериментальных данных об отказах аппаратуры. Однако характеризует надежность до первого отказа.

У восстанавливаемых объектов, среднее время до первого отказа может существенно отличаться от среднего времени между первым и вторым отказами, вторым и третьим и т.д. Поэтому надежность аппаратуры длительного использования оценивают, в отличии от среднего времени безотказной работы, так называемой наработкой на отказ. Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами, при условии восстановления каждого отказавшего элемента.

Связь среднего времени между соседними отказами с другими количественными характеристиками надежности проще всего найти через среднюю частоты отказов (параметр потока отказов). Если известны средние частоты отказов элементов сложной системы, то среднее число отказов системы в любом промежутке времени определяется ее суммарной частотой отказов. Тогда среднее время между отказами будет равно величине, обратной суммарной частоте отказов:

При t®? среднее время между соседними отказами системы стремиться к ее среднему времени безотказной работы и в пределе равно T.

Время безотказной работы есть наработка до отказа. Тогда как среднее значение времени между соседними отказами есть наработка на отказ. Возможны случаи, когда две совершенно различные функции вероятностей безотказной работы могут давать одинаковые значения средней наработки, и чтобы различить такие случаи применяется среднеквадратическое отклонение наработки до отказа или его квадрат - дисперсия.

Среднее время до отказа является естественным показателем надежности, но не применима в тех случаях, когда:

• § время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной работы;
• § система резервированная;
• § время работы отдельных частей сложной системы разное.

Гамма-процентная наработка tg -наработка, в течение которой гарантируется безотказная работа объекта с заданной вероятностью g.

Таким образом, основными количественными характеристиками надежности невосстанавливаемых объектов в процессе эксплуатации являются: вероятность исправной работы, средняя наработка до отказа, частота и интенсивность отказов. А для восстанавливаемых объектов еще и средняя частота отказов, и средняя наработка на отказ.

Восстанавливаемые объекты – это такие объекты, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Эксплуатация таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и продолжает работу до первого отказа; после отказа происходит восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т.д. На оси времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты восстановлений − поток восстановлений (рис. 2.2.).

Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последовательности, образуют поток случайных событий Поток отказов называется простейшим , если он одновременно обладает тремя свойствами –ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия . В ординарном потоке невозможно появление 2‑х и более отказов в один и тот же момент времени. В стационарном потоке вероятность возникновения n отказов в любом промежутке времени Δt i зависит только от величины Δt i , но не зависит от сдвига Δt i по оси времени. В потоке без последействий будущее развитие процесса появления отказов не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом. При решении задач надежности электроснабжения и электрооборудования простейший поток отказов находит широкое применение.

Процесс функционирования восстанавливаемого объекта можно представить как последовательность чередующихся интервалов работоспособности и восстановления (простоя).

Параметр потока отказов − математическое ожидание числа отказов, происшедших за единицу времени, начиная с момента t при условии, что все элементы, вышедшие из строя, заменяются работоспособными, т. е. число наблюдаемых элементов сохраняется одинаковым в процессе эксплуатации. Этот показатель также характеризует восстанавливаемый объект и по статистическим данным определяется с помощью формулы:

,

где n (t 1) и n (t 2) − количество отказов объекта, зафиксированных соответственно, по истечении времени t 1 и t 2 .

Если используются данные об отказах по определенному количеству восстанавливаемых объектов, то

, (2.15)

где − количество отказов по всем объектам за интервал времени ;

N 0 − количество однотипных объектов, участвующих в эксперименте (отказавший объект восстанавливается, N 0 = соnst ).

Для экспоненциального закона надежности интенсивность и параметр потока отказов не зависят от времени и совпадают, т. е.

Параметры потока отказов основных элементов электроснабжения приведены в приложении 5.

Вероятность восстановления S(t ) − вероятность того, что отказавший элемент будет восстановлен в течение заданного времени t , т. е. вероятность своевременного завершения ремонта.

Очевидно то, что

Для определения величины S (t )используется следующая статистическая оценка:

, (2.16)

где N B (0) − число элементов, поставленных на восстановление в начальный момент времени t = 0;

N B − число элементов, время восстановления которых оказалось меньше заданного времени t , т. е. восстановленных на интервале (0, t ).

Вероятность невосстановления (несвоевременного завершения ремонта) G (t )−вероятность того, что отказавший элемент не будет восстановлен в течение заданного времени t .

Статистическая оценка величины G (t ):

. (2.17)

Из анализа выражений (2.16) и (2.17) следует, что всегда

.(2.18)

Частота восстановления а В (t ) − производная от вероятности восстановления

. (2.19)

Для численного определения величины а (t )используется статистическая оценка:

, (2.20)

где − число восстановленных элементов на интервале времени от t до .

Интенсивность восстановления μ(t ) − условная вероятность восстановления после момента t за единицу времени при условии, что до момента t восстановления элемента не произошло.

Интенсивность восстановления связана с частотой восстановления:

. (2.21)

Статистически интенсивность восстановления определяется следующим образом:

, (2.22)

, (2.23)

где N ср – среднее количество элементов находящихся в невосстановленом состоянии на интервале времени ∆t .

Сравнение формул для определения частоты (2.20) и интенсивности (2.22) восстановления показывает, что они отличаются числом элементов в знаменателе. В отличие от процесса отказов, который развивается во времени естественным образом, процесс восстановления является целиком искусственным (ремонт элемента) и, тем самым, полностью определяется организационно-технической деятельностью эксплуатационного персонала. Так как установлены обоснованные нормативы времени на проведение ремонтных работ, то принимают интенсивность восстановления независимой от времени: . Численные значения интенсивности восстановления сведены в справочные таблицы по видам оборудования и ремонтов.

Основные понятия

Восстанавливаемым называется объект, для которого восстанов-ление работоспособного состояния предусмотрено в нормативно-технической документации. Для восстанавливаемых объектов характерно чередование работоспо-собного состояния и восстанов-ления работоспособности после отказа. Таким образом, процесс эксплуатации объекта можно представить как последова-тельное чередование интервалов времени работоспособного tpi и неработо-способного состояний t вi (времени восстановления).

В процессе эксплуатации восстанавливаемый объект может многокра-но отказывать. После каждого отказа происходит полное восстановление объекта, после чего он вновь применяется по назначению. Моменты отказов t 1 , t 2 , …, tm образуют поток отказов, а так как восстановления (например, заменой элементов) следуют мгновенно, то эти же моменты образуют поток восстановлений. Мгновенно – так как время вос-становления несравнимо мало по сравнению со временем работоспособного состояния. Отказы и восстановления можно рассматривать как поток событий: отказов или восстановлений.

В теории надежности для исследования восстанавливаемых объектов широко применяется простейший поток событий, который обладает следующими свойствами:

Стационарностью – когда вероятность появления n отказов в проме-жутке времени зависит только от количества отказов n и длительности рассматриваемого интервала времени и не зависит от положения интервала времени на оси времени.

Отсутствием последействия – когда вероятность наступления n отказов в течение интервала не зависит от того, сколько было отказов и как они распределялись до момента начала интервала времени;

Ординарностью – когда появление в один и тот же момент времени более одного отказа невозможно.

Показатели надежности восстанавливаемых объектов делятся на три группы: показатели безотказности, показатели ремонтопригодности; комплексные показатели. При анализе надежности восстанавливаемых объектов до возникновения первого отказа к ним применяются те же критерии надежности, что и для невосстанавливаемых систем: - вероятность безотказной работы P(t), вероятность отказа Q(t), частота отказов f(t), интенсивность отказов λ(t), средняя наработка до первого отказа Т (наработка до отказа). Но, как только в восстанавливаемой системе возникнет отказ, она восстанавливается до работоспособного состояния. После чего работает до возникновения следующего отказа. Эти циклы продолжаются до наступления предельного состояния или морального старения. Поэтому, в отличие от невосстанавливаемых объектов, рассматривают следующие параметры надежности: вероятность безотказной работы P(t), вероятность отказа Q(t); - параметр потока отказов ω(t), среднюю наработку на отказ Т (наработку на отказ).

Статистически параметр потока отказов определяется как отношение числа отказавших элементов в единицу времени к числу элементов, постав-ленных на испытание при условии, что отказавшие образцы заменяются исправными. Размерность параметра потока отказов – ч -1 . Параметр потока отказов обладает следующим свойством: если поток отказов и восстановлений стационарен, то ω (t) = ω = λ = const. Для ординарных потоков отказов и восстановлений при известном па-раметре потока отказов можно определить возможное число отказовn(t) за время Δt.

Методы расчета надежности восстанавливаемых объектов

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение: экспоненциальное распределение наработки между отказами, экспоненциальное распределение времени восстановления. Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем. При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t 0 вероятность состояния системы в будущем (t > t 0) зависит только от состояния в настоящем (t = t 0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого). Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент. Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем. При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S 1 , S 2 , … , S n , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

Отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

Отсутствуют ограничения на число восстановлений;

Если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S 1 , S 2 , … , S n .

Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний. Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S 1 , S 2 , … , S n) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния S i в другое S j .Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Рис.9. Примеры графа

На схеме оьозначены: S 0 – работоспособное состояние; S 1 – состояние отказа. «Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S 0 и S 1 соответствующие: исправное состояние продолжается; состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S 1 , S 2 , … , S n . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

P1(t), P2(t), … , P i (t), … , Pn(t),

где P i (t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е.

P i (t) = P{S(t) = si}.

Очевидно, что для любого t

(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S 1 , S 2 , … , S n нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а) в левой части – производная по времени t от P i (t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P1(t), P i (t), … , Pn(t) необходимо задать начальное значение вероятностей P1(0), P i (0), … , Pn(0), при t = 0, сумма которых равна единице:

Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то P i (0) = 1, а остальные равны нулю.

2. Показатели надежности восстанавливаемых систем. Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

S M S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

ГЛАВА 3 НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТА

В главе 2 рассмотрена работа элемента, работающего до первого отказа. Теперь будем полагать, что после отказа элемент может быть восстановлен.

Восстановление - процесс обнаружения и устранения отказа с целью восстановления работоспособности объекта.

Восстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемой ситуации.

Пример : Ретранслятор в системе космического телевидения может рассматриваться как восстанавливаемый объект в случае отказов типа сбоев.

При определении типа объекта (восстанавливаемый или невосстанавливаемый) следует учитывать его назначение в данном конкретном применении. Объекты могут быть в принципе ремонтируемыми, но в данном рассмотрении невосстанавливаемыми.

Пример . При решении расчетной задачи на ЭЦВМ она должна рассматриваться как невосстанавливаемый объект, так как после восстановления ЭВМ не может продолжить выполнение возложенных на нее функций (выполнение расчета).

Процесс восстановления может носить различный характер:

* объект подвергается ремонту;

* заменяется новым.

Замечание 1 : Будем считать, что после восстановления объект полностью восстанавливает все свои исходные свойства. С точки зрения анализа надежности несущественно, каким образом происходит восстановление, важным является лишь то, что свойства объекта полностью восстанавливаются.

Математические модели восстанавливаемых объектов:

С точки зрения математических моделей процесса восстановления объектов ВЭ разделяют на две группы:

* мгновенно восстанавливаемые элементы (МВЭ ), у которых время восстановления пренебрежимо мало по сравнению с временем работы до отказа ;

* элементы с конечным временем восстановления (ЭКВВ ), у которых и соизмеримы.

Подразделение восстанавливаемых элементов на мгновенно восстанавливаемые и с конечным временем восстановления зависит от конкретной постановки задачи исследования на надежность.

Пример : при сбоях ретранслятор в системе космического телевидения может рассматриваться как мгновенно восстанавливаемый элемент; в то же время при сбоях буферной ЭВМ (см. рис. 4,5) необходимо рассматривать ее как элемент с конечным временем восстановления, поскольку сбой приводит к значительной потере рабочего времени центральной ЭВМ.

§ 3.1. Определение процесса восстановления для мгновенно восстанавливаемого элемента (МВЭ)

Оговорим математическую модель процесса восстановления для МВЭ. Пусть элемент начал работать в момент t=0 и проработав случайное время Т1 отказал в момент t1= Т1 и тут же мгновенно восстановился. Проработав случайное время Т2 отказал в момент времени t2= Т1+Т2 и тут же мгновенно восстановился. Этот процесс неограниченно продолжается.

Моменты времени называются моментами отказов или восстановлений. Они образуют случайный поток сложных событий, состоящих в очередном отказе и восстановлении. Этот случайный поток событий назовем процессом восстановления для МВЭ. Заметим, что этот поток однородный, поскольку состоит из событий одного типа.

Для определения характеристик потока восстановления необходимо ввести исходные допущения и предположения:

1. Времена работы до отказа Тn, n=1,2,... - независимые случайные величины.

2. Времена работы до отказа Тn, n=1,2,... - одинаково распределенные случайные величины с функцией и плотностью распределения соответственно

Fт (t)=P{ Тn t}=1-P(t), " n=1,2,...

W(t)=F"т(t)=-P"(t) , (3.1)

где P(t) - функция надежности невосстанавливаемого элемента, положенного в основу модели МВЭ. Отсюда следует, что для определения характеристик времен до отказа Тn, n=1,2,... мы можем воспользоваться формулами, полученными в гл. 2 для невосст. эл-та. В частности, средняя длительность работы восстанавливаемого элемента между (n-1) - ым и n - ым отказом может быть определена по ф-ле (2.8)

https://pandia.ru/text/78/385/images/image043.gif" width="85" height="59"> (3.19)

где https://pandia.ru/text/78/385/images/image045.gif" width="44" height="31 src=">

Это свойство м. б. сформулировано следующим образом: для большого временного интервала среднее число отказов, приходящихся на единицу времени https://pandia.ru/text/78/385/images/image042.gif" width="45" height="19"> не зависит от t и =const

2. Теорема Блекуэлла

Если время до отказа Т распределено непрерывно, то при любом https://pandia.ru/text/78/385/images/image048.gif" width="164" height="49 src="> (3.20)

Здесь также не требуется, чтобы было конечным, если , то . Таким образом (3.20) означает, что среднее число отказов, происшедших на интервале фиксированной длительности , не зависит от t.

3. Теорема Смита

Если время до отказа Т распределено непрерывно, а R(t) невозрастающая и интегрируемая (по Риману) на (0,https://pandia.ru/text/78/385/images/image054.gif" width="47" height="22">), то

https://pandia.ru/text/78/385/images/image050.gif" width="44" height="28 src=">. Эта теорема примечательна тем, что с ее помощью возможно изучение различных предельных свойств процесса восстановления путем использования различных ф-ий R(t).

4. Если , то

https://pandia.ru/text/78/385/images/image050.gif" width="44" height="28">.

5. Вероятность безотказной работы на инт.

, (3.23) где P(t) и F(t) - соответственно ф-я надежности и интегральная ф-я распределения времени Т.

6. Число отказов N(t) имеет асимптотически нормально распределение со средним и дисперсией , т. е.

https://pandia.ru/text/78/385/images/image012_3.gif" width="12" height="23 src="> (3.24) Сделаем 2 замечания

1. h(t) является точечной (локальной) характеристикой процесса восстановления, а H(t) - интервальной. Поэтому, очевидно, свойство 4 более общее, из него должны следовать свойства 1,2. Доказать самостоятельно.

Док-во1-го свойства:

Из определения плотности восстановления

https://pandia.ru/text/78/385/images/image064.gif" width="100" height="52 src=">

https://pandia.ru/text/78/385/images/image066.gif" width="563" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/385/images/image068.gif" width="493" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/385/images/image070.gif" width="135" height="53">

2-е свойство

4-е свойство

5-е свойство

|https://pandia.ru/text/78/385/images/image075.gif" width="66" height="27 src=">

В то же время из результатов п.1 § 2.1.

§ 3.5. Определение процесса восстановления для элемента с конечным временем восстановления (ЭКВВ)

Ранее мы полагали, что восстановление отказавшего элемента происходит мгновенно. Это, естественно, является идеализированным случаем, поскольку зачастую восстановление требует времени, которым нельзя пренебречь. Время восстановления складывается из времени обнаружения неисправного элемента и времени замены отказавшего элемента новым или его ремонта.

Оговорим математическую модель процесса восстановления для ЭКВВ. Пусть элемент начал работать в момент времени t=0. Проработав случайное время Т1 отказал в момент времени t10=Т1..gif" width="17" height="25">. Этот процесс неограниченно продолжается. На рис.23 обозначено:

Тn , n=1,2,... - время работы элемента перед n-ым отказом;

https://pandia.ru/text/78/385/images/image079.gif" width="83 height=53" height="53"> - момент N-го отказа N=1,2,...

tNB= - момент N-го восстановления N=1,2,...

Момент времени tN0, tNB образуют случайный поток событий типа “отказ” и “восстановление”. Этот случайный поток назовем процессом восстановления до ЭКВВ. Этот процесс будет неоднородным.

Для определения характеристик потока восстановления необходимо ввести исходные допущения и ограничения :

1. Время работы до отказа Тn , n=1,2,... и времена восстановления , n=1,2,... взаимно независимые случайные величины

2. Времена работы до отказа Тn , n=1,2,... - одинаково распределенные случайные величины с ф-ей плотностью распределения соответственно

https://pandia.ru/text/78/385/images/image081.gif" width="190" height="33 src=">

где P(t) - ф-я надежности соответствующего невосстанавливаемого элемента, положенного в основу модели ЭКВВ. Отсюда следует, что в данном случае справедливы также (3.2), (3.3)

3..gif" width="143" height="28 src="> (3.26)

https://pandia.ru/text/78/385/images/image078.gif" width="19" height="25 src=">, n=1,2,... распределены неодинаково и являются зависимыми случайными величинами.

§ 3.6. Основные показатели надежности для элемента с ЭКВВ

Поток восстановления является неоднородным, Поэтому в общем случае необходимо было бы изучать вероятностные характеристики числа отказов N0(t) и числа восстановлений NВ(t), происшедших на интервале . Однако, NВ(t)= N0(t) либо NВ(t)= N0(t)-1, т. е. NВ(t) и N0(t) отличаются не более, чем на 1. Это дает основание остановиться на рассмотрении одной из названных величин. Далее будем рассматривать однородный поток событий, происходящих в моменты tNB, N=1,2,..., т. е. займемся изучением вероятностных характеристик с. в. NВ(t) и моментов tNB. При этом поток восстановления для ЭКВВ преобразуется к виду рис. 23б. Из рис. 19,23 видно, что поток восстановления для ЭКВВ визуально напоминает поток восстановления для МВЭ с той лишь разницей, что Тn заменяется на Тn+https://pandia.ru/text/78/385/images/image078.gif" width="19" height="25 src="> , n=1,2,... следует, что выполняются ограничения для с. в. Тn+, n=1,2,..., аналогичные сформированным относительно с. в. Тn, n=1,2,... в § 3.1. Это замечание дает основание в задачах анализа характеристик потока восстановления для ЭКВВ использовать результаты, полученные для МВЭ с учетом замены Тn на Тn+, n=1,2,...

1. Распределение числа восстановлений NВ( t) на инт. и момента tNB N-го восстановления