Электронная кормушка для птиц. Автоматическая кормушка для кур

Само наличие у частицы волновых свойств накладывает определенные ограничения на возможность корпускулярного описания ее поведения. Для классической частицы всегда можно указать ее точное положение и импульс. Для квантового объекта имеем иную ситуацию.

Представим цуг волн пространственной протяженностью - образ локализованного электрона, положение которого известно с точностью . Длину волны де Бройля для электрона можно определить, подсчитав число N пространственных периодов на отрезке :

Какова точность определения ? Ясно, что для слегка отличающейся длины волны мы получим примерно то же самое значение N. Неопределенность в длине волны ведет к неопределенности

в числе узлов, причем измерению доступны лишь . Так как

то отсюда немедленно следует знаменитое соотношение неопределенностей В. Гейзенберга для координат - импульсов (1927 г.):

Точности ради надо заметить, что, во-первых, величина в данном случае означает неопределенность проекции импульса на ось OX и, во-вторых, приведенное рассуждение имеет скорее качественный, нежели количественный характер, поскольку мы не дали строгой математической формулировки, что понимается под неопределенностью измерения. Обычно соотношение неопределенностей для координат-импульсов записывается в виде

Аналогичные соотношения справедливы для проекций радиуса-вектора и импульса частицы на две другие координатные оси:

Представим теперь, что мы стоим на месте и мимо проходит электронная волна. Наблюдая за ней в течение времени , хотим найти ее частоту n . Насчитав колебаний, определяем частоту с точностью

откуда имеем

или (с учетом соотношения )

Аналогично неравенству (3.12) соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии системы чаще используется в виде

Рис. 3.38. Ве́рнер Карл Ге́йзенберг (1901–1976)

Поговорим о физическом смысле этих соотношений. Может сложиться представление, что в них проявляется «несовершенство» макроскопических приборов. Но приборы совсем не виноваты: ограничения носят принципиальный, а не технический характер. Сам микрообъект не может быть в таком состоянии, когда определенные значения одновременно имеют какая-то из его координат и проекция импульса на ту же ось.

Смысл второго соотношения: если микрообъект живет конечное время, то его энергия не имеет точного значения, она как бы размыта. Естественная ширина спектральных липни - прямое следствие формул Гейзенберга. На стационарной орбите электрон живет неограниченно долго и энергия определена точно. В этом - физический смысл понятия стационарного состояния. Если неопределенность в энергии электрона превышает разность энергий соседних состояний

то нельзя точно сказать, на каком уровне находится электрон. Иными словами, на короткое время порядка

электрон может перескочить с уровня 1 на уровень 2 , не излучая фотона, и затем вернуться назад. Это - виртуальный процесс, который не наблюдается и, следовательно, не нарушает закона сохранения энергии.

Похожие соотношения существуют и для других пар так называемых канонически сопряженных динамических переменных. Так, при вращении частицы вокруг некоторой оси по орбите радиусом R неопределенность ее угловой координаты влечет за собой неопределенность ее положения на орбите . Из соотношений (3.12) следует, что неопределенность импульса частицы удовлетворяет неравенству

Учитывая связь момента импульса электрона L с его импульсом L = Rp, получаем , откуда следует еще одно соотношение неопределенностей

Некоторые следствия соотношений неопределенностей

Например, для осциллятора (тело на пружине) энергию Е можно записать в виде

Основное состояние в классической механике это состояние покоя в положении равновесия:

Поэтому величина неопределенностей и имеет порядок самих значений импульса и координаты, откуда получаем

Минимум энергии достигается в точке

Вообще говоря, такие оценки не могут претендовать на точный ответ, хотя в данном случае (как и для атома водорода) он действительно точен. Мы получили так называемые нулевые колебания : квантовый осциллятор, в отличие от классического, не может оставаться в покое - это противоречило бы соотношению неопределенностей Гейзенберга. Точные расчеты показывают, что формулу Планка для уровней энергии осциллятора надо было бы писать в виде

где n = 0, 1, 2, 3, ... - колебательное квантовое число.

При решении задач на применение соотношения неопределенностей следует иметь в виду, что в основном состоянии в классической физике электрон покоится в точке, соответствующей минимуму потенциальной энергии. Соотношения неопределенностей не позволяют ему это делать в квантовой теории, так что электрон должен иметь некоторый разброс импульсов. Поэтому неопределенность импульса (его отклонение от классического значения 0 ) и сам импульс по порядку величины совпадают

Если Вы вдруг поняли, что подзабыли основы и постулаты квантовой механики или вообще не знаете, что это за механика такая, то самое время освежить в памяти эту информацию. Ведь никто не знает, когда квантовая механика может пригодиться в жизни.

Зря вы усмехаетесь и ехидствуете, думая, что уж с этим предметом вам в жизни вообще никогда не придется сталкиваться. Ведь квантовая механика может быть полезной практически каждому человеку, даже бесконечно далекому от нее. Например, у Вас бессонница. Для квантовой механики это не проблема! Почитайте перед сном учебник – и Вы спите крепчайшим сном странице уже эдак на третьей. Или можете назвать так свою крутую рок группу. Почему бы и нет?

Шутки в сторону, начинаем серьезный квантовый разговор.

С чего начать? Конечно, с того, что такое квант.

Квант

Квант (от латинского quantum – ”сколько”) – это неделимая порция какой-то физической величины. Например, говорят - квант света, квант энергии или квант поля.

Что это значит? Это значит, что меньше быть уже просто не может. Когда говорят о том, что какая-то величина квантуется, понимают, что данная величина принимает ряд определенных, дискретных значений. Так, энергия электрона в атоме квантуется, свет распространяется «порциями», то есть квантами.

Сам термин «квант» имеет множество применений. Квантом света (электромагнитного поля) является фотон. По аналогии квантами называются частицы или квазичастицы, соответствующие иным полям взаимодействия. Здесь можно вспомнить про знаменитый бозон Хиггса, который является квантом поля Хиггса. Но в эти дебри мы пока не лезем.

Как механика может быть квантовой?

Как Вы уже заметили, в нашем разговоре мы много раз упоминали о частицах. Возможно, Вы и привыкли к тому, что свет – это волна, которая просто распространяется со скоростью с . Но если посмотреть на все с точки зрения квантового мира, то есть мира частиц, все изменяется до неузнаваемости.

Квантовая механика – это раздел теоретической физики, составляющая квантовой теории, описывающая физические явления на самом элементарном уровне – уровне частиц.

Действие таких явлений по величине сравнимо с постоянной Планка, а классическая механика Ньютона и электродинамика оказались совершенно непригодными для их описания. Например, согласно классической теории электрон, вращаясь с большой скоростью вокруг ядра, должен излучать энергию и в конце концов упасть на ядро. Этого, как известно, не происходит. Именно поэтому и придумали квантовую механику – открытые явления нужно было как-то объяснить, и она оказалась именно той теорией, в рамках которой объяснение было наиболее приемлемым, а все экспериментальные данные "сходились".

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Немного истории

Зарождение квантовой теории произошло в 1900 году, когда Макс Планк выступил на заседании немецкого физического общества. Что тогда сообщил Планк? А то, что излучение атомов дискретно, а наименьшая порция энергии этого излучения равна

Где h - постоянная Планка, ню - частота.

Затем Альберт Эйнштейн, введя понятие “квант света” использовал гипотезу Планка для объяснения фотоэффекта. Нильс Бор постулировал существование у атома стационарных энергетических уровней, а Луи де Бройль развил идею о корпускулярно-волновом дуализме, то есть о том, что частица (корпускула) обладает также и волновыми свойствами. К делу присоединились Шредингер и Гейзенберг, и вот, в 1925 году публикуется первая формулировка квантовой механики. Собственно, квантовая механика – далеко не законченная теория, она активно развивается и в настоящее время. Также следует признать, что квантовая механика с ее допущениями не имеет возможности объяснить все стоящие перед ней вопросы. Вполне возможно, что на смену ей придет более совершенная теория.

При переходе от мира квантового к миру привычных нам вещей законы квантовой механики естественным образом трансформируются в законы механики классической. Можно сказать, что классическая механика – это частный случай квантовой механики, когда действие имеет место быть в нашем с Вами привычном и родном макромире. Здесь тела спокойно движутся в неинерциальных системах отсчета со скоростью, гораздо меньшей скорости света, и вообще - все вокруг спокойно и понятно. Хочешь узнать положение тела в системе координат – нет проблем, хочешь измерить импульс – всегда пожалуйста.

Совершенно иной подход к вопросу имеет квантовая механика. В ней результаты измерений физических величин носят вероятностный характер. Это значит, что при изменении какой-то величины возможно несколько результатов, каждому из которых соответствует определенная вероятность. Приведем пример: монетка крутится на столе. Пока она крутится, она не находится в каком-то определенном состоянии (орел-решка), а имеет лишь вероятность в одном из этих состояний оказаться.

Здесь мы плавно подходим к уравнению Шредингера и принципу неопределенности Гейзенберга .

Согласно легенде Эрвин Шредингер, в 1926 году выступая на одном научном семинаре с докладом на тему корпускулярно-волнового дуализма, был подвергнут критике со стороны некоего старшего ученого. Отказавшись слушать старших, Шредингер после этого случая активно занялся разработкой волнового уравнения для описания частиц в рамках квантовой механики. И справился блестяще! Уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) имеет вид:

Данный вид уравнения – одномерное стационарное уравнение Шредингера – самый простой.

Здесь x - расстояние или координата частицы, m - масса частицы, E и U - соответственно ее полная и потенциальная энергии. Решение этого уравнения – волновая функция (пси)

Волновая функция – еще одно фундаментальное понятие в квантовой механике. Так, у любой квантовой системы, находящейся в каком-то состоянии, есть волновая функция, описывающая данное состояние.

Например, при решении одномерного стационарного уравнения Шредингера волновая функция описывает положение частицы в пространстве. Точнее говоря, вероятность нахождения частицы в определенной точке пространства. Иными словами, Шредингер показал, что вероятность может быть описана волновым уравнением! Согласитесь, до этого нужно было додуматься!

Но почему? Почему мы должны иметь дело с этими непонятными вероятностями и волновыми функциями, когда, казалось бы, нет ничего проще, чем просто взять и измерить расстояние до частицы или ее скорость.

Все очень просто! Ведь в макромире это действительно так – мы с определенной точностью измеряем расстояние рулеткой, а погрешность измерения определяется характеристикой прибора. С другой стороны, мы можем практически безошибочно на глаз определить расстояние до предмета, например, до стола. Во всяком случае, мы точно дифференцируем его положение в комнате относительно нас и других предметов. В мире же частиц ситуация принципиально иная – у нас просто физически нет инструментов измерения, чтобы с точностью измерить искомые величины. Ведь инструмент измерения вступает в непосредственный контакт с измеряемым объектом, а в нашем случае и объект, и инструмент – это частицы. Именно это несовершенство, принципиальная невозможность учесть все факторы, действующие на частицу, а также сам факт изменения состояния системы под действием измерения и лежат в основе принципа неопределенности Гейзенберга.

Приведем самую простую его формулировку. Представим, что есть некоторая частица, и мы хотим узнать ее скорость и координату.

В данном контексте принцип неопределенности Гейзенберга гласит: невозможно одновременно точно измерить положение и скорость частицы . Математически это записывается так:

Здесь дельта x - погрешность определения координаты, дельта v - погрешность определения скорости. Подчеркнем – данный принцип говорит о том, что чем точнее мы определим координату, тем менее точно будем знать скорость. А если определим скорость, не будем иметь ни малейшего понятия о том, где находится частица.

На тему принципа неопределенности существует множество шуток и анекдотов. Вот один из них:

Полицейский останавливает квантового физика.
- Сэр, Вы знаете, с какой скоростью двигались?
- Нет, зато я точно знаю, где я нахожусь

И, конечно, напоминаем Вам! Если вдруг по какой-то причине решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме не дает Вам уснуть, обращайтесь к – профессионалам, которые были взращены с квантовой механикой на устах!

Принципы неопределенности Гейзенберга являются одной из проблем квантовой механики, однако прежде мы обратимся к развитию физической науки в целом. Еще в конце XVII века Исааком Ньютоном была заложена современная классическая механика. Именно он сформулировал и описал ее основные законы, при помощи которых можно предсказать поведение окружающих нас тел. К концу XIX века эти положения казались нерушимыми и применимыми ко всем законам природы. Задачи физики как науки, казалось, были решены.

Но, как выяснилось, на тот момент о свойствах Вселенной было известно существенно меньше, чем казалось. Первым камнем, нарушившим стройность классической механики, стало неподчинение ее законам распространения световых волн. Таким образом, совсем молодая на тот момент наука электродинамика была вынуждена выработать совершенно иной свод правил. А для физиков-теоретиков возникла проблема: как привести две системы к единому знаменателю. Кстати, наука и сегодня работает над ее решением.

Миф о всеобъемлющей ньютоновской механике был окончательно разрушен с более глубоким изучением строения атомов. Британец Эрнест Резерфорд обнаружил, что атом не является неделимой частицей, как считалось ранее, а сам имеет в своем составе нейтроны, протоны и электроны. Более того, их поведение также совершенно не вязалось с постулатами классической механики. Если в макромире гравитация в значительной степени определяет природу вещей, то в мире квантовых частиц она является крайне малой силой взаимодействия. Так были заложены основы квантовой механики, в которой тоже действовали собственные аксиомы. Одним из показательных отличий этих мельчайших систем от привычного нам мира стал принцип неопределенности Гейзенберга. Он наглядно продемонстрировал необходимость отличного подхода к этим системам.

Принцип неопределенности Гейзенберга

В первой четверти XX века квантовая механика совершала свои первые шаги, а физики всего мира лишь осознавали, что же вытекает для нас из ее положений, и какие она открывает перспективы. Немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг свои знаменитые принципы сформулировал в 1927 г. Заключаются принципы Гейзенберга в том, что невозможно просчитать одновременно и пространственное положение, и скорость квантового объекта. Основной причиной этому является тот факт, что при измерении мы уже воздействуем на измеряемую систему, тем самым нарушая ее. Если в знакомом нам макромире мы оцениваем объект, то, бросая на него даже взгляд, мы видим отражение света от него.

Но принцип неопределенности Гейзенберга говорит о том, что хоть в макромире свет никак не влияет на измеряемый объект, а в случае с квантовыми частицами фотоны (или любые другие производные измерения) оказывают значительное влияние на частицу. При этом интересно отметить, что отдельно скорость или отдельно положение тела в пространстве квантовая физика измерить вполне может. Но чем более точными будут наши показания скорости, тем меньше нам будет известно о пространственном положении. И наоборот. То есть принцип неопределенности Гейзенберга создает известные сложности в предсказании поведения квантовых частиц. Буквально это выглядит так: они меняют свое поведение, когда мы пытаемся за ними наблюдать.

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. (перечисленные величины называются динамическими переменными). Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако, информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т.е. через значения динамических характеристик. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии, и т.д.

Волновые свойства частиц и возможность задать для частицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что сами понятия координаты частицы и ее скорости (или импульса ) могут применяться в квантовой механике в ограниченной мере . В этом, вообще говоря, нет ничего удивительного. В классической физике понятие координаты в ряде случаев тоже непригодно для определения положения объекта в пространстве. Например, не имеет смысла говорить о том, что электромагнитная волна находится в данной точке пространства или что положение фронта волновой поверхности на воде характеризуется координатами x , y , z .

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным , в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами ) и скоростью (или импульсом ). Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса . Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению:

Из (4.2.1) следует, что чем меньше неопределенность одной величины (x или ), тем больше неопределенность другой. Возможно, такое состояние, в котором одна их переменных имеет точное значение (), другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной ( – ее неопределенность равна бесконечности), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний , в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения . Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременного измерения координаты и импульса микрообъекта с любой наперед заданной точностью.

Соотношение, аналогичное (4.2.1), имеет место для y и , для z и , а также для других пар величин (в классической механике такие пары называются канонически сопряженными ). Обозначив канонически сопряженные величины буквами A и B , можно записать:

Соотношение (4.2.2) называется соотношением неопределенностей для величин A и B . Это соотношение ввёл в 1927 году Вернер Гейзенберг.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку меньше постоянной Планка h , называется соотношением неопределенностей Гейзенберга .

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами . Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей:

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью должно занять интервал времени, равный, по меньшей мере,

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличии у нее волновых свойств. Т.к. в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере возможно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (4.2.1) вместо произведение , получим соотношение:

Из этого соотношения следует, что чем больше масса частицы , тем меньше неопределенности ее координаты и скорости , следовательно тем с большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой кг и линейными размерами м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров ( м), неопределенность скорости, по (4.2.4),

т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться.

Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли ; координаты и скорости могут быть измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Предположим, что пучок электронов движется вдоль оси x со скоростью м/с, определяемой с точностью до 0,01% ( м/с). Какова точность определения координаты электрона?

По формуле (4.2.4) получим:

.

Таким образом, положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории иными словами, описывать их движения законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, двигающемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона м (порядка размеров самого атома), тогда, согласно (4.2.4),

.

Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса приблизительно м его скорость м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электронов в атоме по определенной траектории. Иными словами, для описания движения электронов в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) - в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим ансамбль невзаимодействующих эквивалентных частиц, приготовленных в определённом состоянии, для каждой из которых измеряется либо координата q , либо импульс p . При этом результаты измерений будут случайными величинами, дисперсии которых будут удовлетворять соотношению неопределённостей . Отметим, что, хотя нас интересуют одновременные значения координаты и импульса в данном квантовом состоянии , измерять их у одной и той же частицы нельзя, так как любое измерение изменит её состояние.

В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это - один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в г.

Краткий обзор

Принцип неопределённости в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц, приготовленных в одном и том же состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс, либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью, и для дисперсий d p и d q верно отношение неопределённости.

Отношения неопределённости Гейзенберга - это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана . Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау .

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни определённым значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов . Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну . Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как, например, в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

где - постоянная Дирака . В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе . Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x - нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало.

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация.

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером :

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор A B − B A называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ] . Он определен для тех x , для которых определены оба A B x и B A x .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ и B A ψ определены, тогда:

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:

• отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

• следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

Интерпретации

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта , и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну : «я уверен, что Бог не бросает кости» (Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ) . Нильс Бор , который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (). Например, проекции импульса на оси c и y можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название, сделали его источником нескольких шуток. Говорят, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости, квантового физика останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

Литература

Использованная литература

Журнальные статьи

• W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172–198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62–84.
• Л. И. Мандельштам , И. Е. Тамм «Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике », Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9 , 122-128 (1945).
• G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey , Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207–238.

О соотношения неопределенностей Шредингера

• Шредингер Э. К принципу неопределенностей Гейзенберга. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976. стр.210-217.
• Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределенностей в квантовой механике. Труды ФИАН СССР. 1987. Том 183 стр.5-70.
• Суханов А. Д. Соотношения неопределенностей Шредингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний, Теор. Мат. Физ. Том.132. N.3. (2002) с.449-468.
• Суханов А. Д. Соотношение неопределенностей Шредингера для квантового осциллятора в термостате. Теор. Мат. Физ. Том.148. N.2. (2006) с.295-308.